Definició

Donat un conjunt F de dones, anomenarem noia maximal a tota noia tal que no existeix cap noia millor que ella (entesa com a millor parella sentimental) a F.

Lema 1

Donat qualsevol conjunt de noies, la relació “millor que” estableix un ordre parcial estricte.

Demostració

  1. Irreflexivitat. Efectivament, cap noia és millor que ella mateixa.
  2. Transitivitat. Si la noia A és millor que la noia B i la noia B és millor que la noia C, aleshores la noia A és millor que la noia C.*
  3. Asimetria. És conseqüència directa de a) i b).

Lema 2

Tot conjunt no buit ordenat estrictament i parcial té un subconjunt d’elements maximals no buit.

Demostració

Sigui X un conjunt no buit ordenat estricament i parcial (per una relació d’ordre <) i sigui x ∈ X un element de X. Per cada element y ∈ X tal que y ≠ x, mirem si x < y. Si per cap y és compleix x < y, ja hem acabat (doncs x pertany al subconjunt d’elements maximals). Si trobem un y que compleix x < y, repetim el procediment prenent y com a element. La transitivitat del conjunt ens assegura que no prendrem el mateix element més d’una vegada, i l’element final serà al subconjunt d’elements maximals.

Teorema (de la noia maximal)

Per tot conjunt F de dones, existeix un subconjunt no buit M de noies maximals.

Demostració

Es desprèn de manera directa dels lemes 1 i 2.

Corol·lari 1

Coneixeràs com a mínim a una noia maximal entre totes les noies que coneixeràs mai.

Corol·lari 2 (Teorema de la parella maximal)

Si tens com a mínim una relació de parella al llarg de la teva vida, tindràs una relació de parella amb una noia maximal entre les noies amb qui has tingut relació de parella.

Corol·lari 3 (Teorema de la mitja llimona)

Que una noia sigui maximal en el conjunt de noies que coneixeràs no garanteix que tu siguis un noi maximal en el conjunt de nois que ella coneixerà.

*La demostració queda com a exercici pel lector.